Родился 7 марта 1947 года в городе Сары-Агач Южно-Казахстанской области. Отец — военнослужащий, мать — учительница средней школы. В 1965 году окончил среднюю школу и музыкальную школу по классу баяна в г. Кентау, после чего поступил на факультет автоматики и вычислительной техники Казахского политехнического института им. В. И.Ленина, который окончил в 1970 году. Во время обучения в КазПТИ создал студенческий вокально-инструментальный ансамбль «Дос-Мукасан» (первый слог названия — первый слог имени Сулеева), соединивший рок-музыку и казахские народные песенные традиции. В 1973 году ВИА стал лауреатом Всесоюзного конкурса профессиональных артистов эстрады в Минске, затем — лауреатом X Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Берлине. За большой вклад в эстетическое воспитание молодежи и студентов республики ансамблю в 1974 году было присвоено звание лауреата премии Ленинского комсомола Казахстана, а в 1998-м — почетное звание «Легенда казахстанской эстрады». Автор более 20 песен и мелодий, вошедших в музыкальный фонд радио и телевидения РК, были выпущены пластинки и записи с песнями, вышел сборник авторских музыкальных произведений «Той жыры». Принимал участие в играх КВН.

         После окончания вуза был оставлен инженером кафедры технической кибернетики, откуда в 1974 году направлен в очную аспирантуру Московского института стали и сплавов. По окончании обучения в аспирантуре в 1978 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Исследование основного технологического комплекса титанового производства и разработка алгоритмов оптимального управления», результаты которой были внедрены на Усть-Каменогорском титано-магниевом комбинате.

С 1978 года — преподаватель, в течение четырёх лет заместитель секретаря парткома Казахского политехнического института им. В.И.Ленина. В 1984 году курировал вузы Алма-Аты в горкоме партии. С апреля 1986 года — проректор по учебной работе Алма-Атинского энергетического института. В 1991 году Госкомитетом по образованию СССР утвержден в учёном звании профессора. С февраля 1997 года — первый директор Департамента высшего образования, с октября 1997 года — директор административного департамента Министерства образования и науки РК. С января 2001 года — заместитель заведующего отделом социально-культурного развития Канцелярии Премьер-министра РК. С июля 2001 года — ректор Казахского национального технического университета им. К. И. Сатпаева. С мая 2008 года по настоящее время — почётный ректор Казахского национального технического университета им. К. И. Сатпаева.

Член движения «Союз народного единства Казахстана», затем — член политсовета партии «Народное единство Казахстана». В 1990—1994 годах избирался депутатом Алматинского городского Совета народных депутатов. В 1996-м участвовал в выборах в мажилис парламента. С 24 февраля 2018 года Досым Сулеев вступил в должность главы института сейсмологии